Problem treh teles – od Newtonovega glavobola do nanotehnologije

Leta 1714 je angleški parlament zaradi hudih pomorskih nesreč, posledic napačne navigacije, razpisal več nagrad za zanesljive metode določanja zemljepisne dolžine. Za to rabimo točen čas. Takratne ure na nihalo so bile na ladjah neuporabne. Isaac Newton, ki je v Principia (1687) rešil “problem dveh teles” – matematično je dokazal, da eliptično obliko tirov planetov določa gravitacijska sila – je za določanje časa predlagal merjenje položaja Lune glede na zvezde. Toda prvega “problema treh teles”, gibanja Lune pod vplivom Zemlje in Sonca, mu ni uspelo izračunati dovolj natančno za praktične potrebe – od tod znameniti “Newtonov glavobol”. (Zanimivo je, da je akademika Newtona prehitel mizar J. Harrison s konstrukcijo prvega kronometra (1736), za kar je tudi prejel eno od nagrad.)

Clairaut, d’Alembert, Euler, Lagrange in drugi so spoznali, da gibanja Lune ni mogoče rešiti v zaključeni matematični obliki. Našli pa so vedno boljše popravke k približnim rešitvam. Leta 1954 so objavili prve računalniške tabele za lego Lune, ki so vsebovale 985 popravkov zaradi gravitacije Sonca in 642 popravkov zaradi gravitacije planetov. Omogočile so pristanek na Luni v programu Apollo leta 1969. Sodobne računalniške metode, ki iz trenutka v trenutek simulirajo pot planetov ali umetnih sond, pa so tako natančne, da tu ni več skrivnosti.

Tudi v svetu atomov in njihovih gradnikov, kjer namesto o “telesih” govorimo o “delcih” in kjer namesto Newtonovih veljajo drugačni zakoni, je izračun gibanja treh in več teles toliko težji od problema dveh teles, da si je prislužil ustaljeno ime. Še dodatne težave povzroča električna sila med delci. V angleščini se to področje raziskovanja imenuje ”few-body problem”.

Ali ni atom helija (jedro in dva elektrona) idealen problem treh teles, saj mase in sile med delci poznamo? Že, toda sila je električna! Kljub tej težavi je raziskovalcem Instituta J. Stefan v sodelovanju s Hebrejsko Univerzo v Jeruzalemu uspelo razviti najbolj natančno metodo za ta in podobne probleme treh teles. Na izviren način vnaprej obravnavajo položaje, ko sta dva delca blizu in električna sila narašča brez mej. S tem dobijo problem treh teles s silo, ki se “lepo obnaša”. To jim npr. omogoča točne napovedi za verjetnosti nekaterih procesov pri obstreljevanju atomov v pospeševalnikih. Med drugim so napovedali nov tip “izbijanja” elektronov iz atomov pri velikih energijah.

V devetdesetih letih je rešitev energetskih težav obljubljalo zlitje jeder dveh izotopov vodika s pomočjo lahkega delca miona (muon-catalysed fusion – MCF). Zaradi težavnosti poskusov je bil za oceno ekonomičnosti nujen teoretični izračun procesa. Rešitev tega problema treh teles je razblinila upe na uspeh MCF elektrarne. (Ekonomično bi delovala le, če bi lahko proizvajali veliko več mionov, kot je mogoče v pospeševalnikih, kar pa je drugačen problem.) Raziskovalci iz Kyushuja, ki so tedaj izvedli enega prvih računov za verjetnost zlitja, so na konferenci na Bledu (okvir) predstavili izračun mase antiprotona s podobno metodo na 8 decimalk, in sicer posredno iz natančnega izračuna vezavne energije sistema proton-elektron-antiproton.

Problem več teles najdemo tudi nadstropje niže, v atomskih jedrih. Ta veja fizike se je razmahnila, ko so poskusi s sipanjem elektronskih curkov pokazali, da jedra niso točkasta, temveč sestavljena iz še manjših gradnikov, protonov in nevtronov. Protoni in nevtroni (s skupnim imenom nukleoni) so zbrani v vezanih sistemih v prostoru, ki je stotisočkrat manjši od značilnih razsežnosti atomov. Nukleonov v jedru ne veže elektrostatski privlak, temveč močna jedrska sila.

Posebej zanimiv je par proton-nevtron, ki tvori najenostavnejši vezani dvodelčni jedrski sistem, devteron. Uporabljamo ga kot “laboratorij” za študij jedrske sile. Lastnosti jeder z več nukleoni poskušamo potem razložiti na podlagi razumevanja te osnovne, dvodelčne sile. Dvodelčno interakcijo lahko ponazorimo z izmenjavo novih delcev med nukleonoma, ki jih imenujemo mezoni. Za njen opis pa moramo ob različnih medsebojnih razdaljah med nukleonoma upoštevati različne vrste mezonov, tako da tudi na videz preprosti devteron postane zapleten večdelčni sistem.

Statične lastnosti devterona danes dobro razumemo. Vendar to znanje ne zadošča za opis dinamičnih lastnosti jeder s tremi, štirimi ali več nukleoni. Tu pomagajo sodobne analitične in numerične metode fizike majhnega števila delcev, s katerimi obravnavamo interakcije med pari in trojicami nukleonov brez približkov. Računski pristopi, ki jih razvijajo teoretične skupine v Pisi, Trentu, Bochumu in Hannovru, in ki so bili predstavljeni tudi na blejski konferenci, gredo vštric z novimi, preciznimi merskimi metodami. Lahke jedrske sisteme in nukleone, predvsem njihovo spinsko strukturo, danes raziskujejo v laboratorijih SLAC (Stanford), TJNAF (Newport News) in MIT-Bates (Boston) v ZDA ter MAMI (Mainz) v Nemčiji, s katerimi sodelujemo tudi fiziki z Inštituta Jožef Stefan in Univerze v Ljubljani.

Fiziki bi suhoparno menili, da je teža pač sila, s katero nas priklepa Zemlja nase, in je premo sorazmerna z našo maso. Ker smo sestavljeni iz molekul, te pa iz nukleonov in elektronov, je naša masa odvisna predvsem od števila delcev, iz katerih smo sestavljeni, ter njihovih mas. A tudi nukleoni so sestavljeni, vsak iz treh kvarkov. Torej tehtamo toliko, kolikor tehtajo vsi kvarki v našem telesu? Tu nas čaka veliko presenečenje. Kvarki so skoraj brezmasni – masa kvarka je manj kot odstotek mase nukleona. Od kod torej izvira manjkajoča masa?

Na prvi pogled se zdi, da je tudi problem zgradbe nukleona problem treh teles. Vendar je sila med kvarki mnogo bolj zapletena od tistih, ki jih poznamo v makroskopskem svetu. Sila je šibka, ko sta si kvarka blizu, z naraščajočo oddaljenostjo pa ostaja konstantna. Zaradi te posebnosti v naravi ne najdemo prostih kvarkov, saj bi potrebovali neskončno veliko energijo, da bi jih iztrgali iz nukleona.

Strokovno v subatomskem svetu neradi govorimo o silah. Interakcijo med kvarki raje opisujemo z izmenjavo gluonov, podobno kot smo dvodelčno interakcijo med nukleoni opisovali z izmenjavo mezonov. V nukleonu poleg treh kvarkov srečamo še več vrst gluonov, ki ves čas nastajajo in izginjajo. Poleg gluonov se znotraj nukleonov rojevajo kvarki v paru s svojimi antidelci – antikvarki. V živahnem dogajanju znotraj nukleona, in spet v rešitvi problema več teles, leži ključ do razlage njihove velike mase. Po znameniti Einsteinovi relaciji med maso in energijo lahko maso nukleona razložimo z energijo, ki se zaradi zamotane interakcije med kvarki pretaka v njegovi notranjosti.

Eno izmed metod, ki so se uporabljale v pionirskih časih fizike jeder, so raziskovalci iz Debrecena in Oak Ridgea ter Livermorea (ZDA) razvili do stopnje, da z lahkoto obravnava večje število elektronov, ujetih v “kvantno piko” oziroma “umetni atom” v kristalu. Računi stanj te skupine elektronov so zanimivi za nanotehnologijo in imajo neslutene aplikacije v laserski tehniki, novih tehnologijah računalniških pomnilnikov… Z uporabo metode iz problema treh teles je izginila potreba po približkih, ki jih zahtevajo doslej uporabljane približne in shematične metode. Zaradi statističnih prijemov v osnovah metode se lahko prilagodijo realističnim razmeram v kristalih v vseh treh dimenzijah (glej sliko).

Pozoren bralec se bo morda vprašal, ali smo zaradi nuje po uporabi računalniških metod na boljšem od Babiloncev in Grkov, ki so zakonitosti gibanja razbirali iz dolgoletnih zapisov opazovanj? Brez dvoma: po eni strani smo se naučili razumeti obnašanje treh in več teles – naj bo kvarkov ali planetov – kajti računalnik nam omogoči, da se posvetimo razumevanju podrobnosti. Nalogo lahko tudi obrnemo in iz obnašanja delcev izračunamo lastnosti sil med njimi.

Pregled svežih rezultatov na blejski konferenci je pokazal, da lahko trenutno dokaj zanesljivo opišemo sisteme do šestih vezanih delcev. Matematične težave pa so pri opisu sipanja sistemov z električno nabitimi delci, kjer raziskovalci iz Mainza, St. Petersburga, Severne Karoline in Pise še niso dosegli konsenza.

Ker so metode sorodne, pa naj gre za atome, jedra, nukleone, kvarke ali nanotehnologijo, bo “problem treh teles” tudi v bodoče ena od močnih povezovalnih niti v celotni fiziki. Eno od spoznanj konference na Bledu je bilo, da je v zadnjih dveh letih večina metod dozorela in da se novi izzivi porajajo pri vedno večjem številu delcev.

Ko so na Bledu kolegi z Oak Ridgea diskutirali kvantne pike, misli niso bežale le v nanotehnologijo, ampak tudi na daljne začetke metode, ki je pred desetletji prve korake naredila prav v trikotniku Ljubljana – Kijev – Debrecen.

Rajmund Krivec, Simon Širca, Bojan Golli

-