Dinamični sistemi, kaos in fraktali

Najprej se posvetimo samemu pojmu sistema. Kamorkoli se ozremo, lahko opazimo različne skupine predmetov ali bitij, ki vstopajo v raznorazne medsebojne odnose. Tako definirana skupina skupaj z odnosi sestavlja dinamični sistem. Vsak sistem seveda obdaja okolica, s katero izmenjujejo ustrezen input ter odgovarjajoči output, npr. energijo ali informacije, seveda pa si lahko zamislimo tudi kaj kompleksnejšega. Kakor se vse skupaj sliši abstraktno, pa v resnici ni nič kaj zapleteno. Da se prepričamo o tem si poglejmo nekaj primerov.

Seveda je dinamičnih sistemov v resnici neskončno. Kljub temu pa jih lahko razvrstimo v različne sklope glede na njihove značilnosti. Sama po sebi se morda ponuja delitev na naravne in umetne sisteme – pač odvisno od tega ali je bil v njihov nastanek vmešan človek ali ne. Primeri naravnih sistemov bi tako bili: kar človek sam(recimo kot sistem celic ali pa organov), nadalje atomi in molekule, pa zvezde in zvezdne združbe, planeti in planetni sistemi ter tako naprej in tako dalje. Po drugi strani so umetni sistemi npr. računalniki in računalniške mreže (oz. bolj učeno informacijski sistemi), zaselki in vasi, tekoči trakovi in roboti, zgradbe, mesta, mestna in primestna naselja ter še in še…Vprašanje je seveda ali se iz tega naštevanja karkoli naučimo o samih sistemih. Veliko bolj pametna kot gornja delitev bi bila pač delitev sistemov po njihovi dinamiki. Le kaj skupnega bi lahko našli med gornjimi tako raznolikimi sistemi? Tu vstopi na plano fizika in umetnost poenostavljanja. Najprej ločimo sisteme glede na to ali so deterministični ali nasprotno – stohastični. Le kaj se skriva za tema dvema zapletenima pojmoma?

• če je sistem determinističen, to pomeni, da lahko vsaj v principu napovemo njegovo obnašanje (o kaotičnem obnašanju takega sistema malce kasneje). Primer determinističnega sistema bi bila recimo biljardna miza z biljardnimi kroglami, kjer nam obnašanje krogel popiše kar srednješolska fizika (to je Newtonova mehanika).
• stohastični sistemi so nasprotno sistemi, katerih obnašanje je naključno, o tem kakšen bo izid lahko govorimo le z določeno verjetnostjo. Primer enostavnega stohastičnega procesa je metanje kocke.

Pomudimo se še nekoliko ob pojmu modela. Kar lahko obvladujemo z našimi orodji so v bistvu le slike naravnih in umetnih sistemov. Tovrstnim preslikavam sistemov pravimo modeli – z njimi namreč modeliramoobravnavane sisteme. Naštejmo nekatere :

• Note se združujejo v skladbo
  
• Šahovske pozicije, prikazane z diagrami
  
• Model (del) odnosa med plenilcem in plenom
  

Modeliranje se je še posebno razmahnilo s pojavom računalnikov. Pomen računalnika je predvsem v tem, da omogoča simulacije. Kaj to pomeni? Izberemo začetne pogoje, ki opisujejo izhodiščno stanje modela (recimo porazdelitev biljardnih krogel na mizi in njihove hitrosti). Modelu nato predpišemo pravila, po katerih se naj model sistema obnaša. Končno zaženemo simulacijo in opazujemo življenje izbranega modela sistema. Pri simulacijah seveda mnogokrat ne moremo vestno upodobiti celotnega sistema, pač pa smo primorani delati približke (od tu tudi le modeliranje samih sistemov). Kot primer take poenostavitve vzemimo simulacijo vedenja namišljenega živega bitja, ki živi samo v ravnini. Da bomo lahko vse skupaj spremenili v numerično simulacijo najprej razdelimo ravnino s kvadratno mrežo v majhne kvadratke. Živo bitje naj bo sestavljeno iz celic. Vsak kvadratek naj ustreza eni celici. Če je kvaratek prazen, recimo, da je celica neživa, sicer pa naj bo živa. Vsaka celica ima okolico, ki sestoji iz osmih kvadratkov. Neprazno množico, ki sestoji iz ene ali več polnih (živih) celic, imenujmo bitje – naj mu bo ime kar ploskavec, saj živi na ravnini. Zanj si izmislimo tri osnovne zakone, ki predpisujejo neposrednega potomca bitja (rodovni zakon):

• Zakon zamiranja celic: če ima v prvem rodu celica v svoji okolici manj kot dve polni celici ali pa več kot tri, je v drugem rodu prazna.
• Zakon ohranitve: če ima celica v svoji okolici natanko dve polni celici, ostane v drugem rodu taka kot v prvem rodu.
• Zakon oživljanja: če ima celica v prvem rodu v svoji okolici natanko tri polne celice, potem je v drugem rodu živa.

Iz leve proti desni: celica, 1.rod, 6.rod.

Če računalniško sestavimo življenjski prostor naših ploskavcev in določimo žive celice prvega roda, lahko dobimo izredno pestrost življenja (razne vzorce), ki izhaja iz omenjenih preprostih zakonov. Tej računalniški simulaciji pravimo Igra življenja. Simulacija, ki jo dobimo nekoliko spominja na gibanje amebe, ampak seveda s samo amebo nima nobene zveze, je pač preveč poenostavljena. Lahko si izmislimo vestnejše simulacije amebe, ampak seveda same amebe v računalnik na ta način ne bomo stlačili, le njen model.Na podoben način, kot pokažemo gibanje naše namišljene amebe, lahko modeliramo tudi druge zanimive procese v naravi, npr. rast kristalov, tudi snežink (kjer lahko opazujemo porajanje njihove čudovite simetrije), razvoj raznih organizmov – tudi virusov, ter seveda fizikalne procese.

Ravnovesje dinamičnih sistemov

Posebej zanimivo vprašanje je, ali v dinamičnem sistemu obstaja ravnovesno stanje. Vzemimo preprost sistem – ekonom lonec. Če poraste temperatura, poraste pritisk v loncu in para začne uhajati skozi ventil. Če temperatura še poraste, uhaja še več pare. Tako se ohranja stalni pritisk v loncu. Če pa temperatura poraste preko dovoljene meje, pride do katastrofe. Časovni razvoj sistemov lahko v mnogih primerih razvrstimo v enega od naslednjih primerov:

• Oglejmo si prodajo izdelka na tržišču. Najprej je izdelek nov in zanimiv ter se dobro prodaja. Prodaja se seveda ustavi pri določenem številu kupcev, saj vsi niso zainteresirani za ta izdelek. Če ne pride do izboljšave, prodaja začne upadati.
• Oglejmo si tudi delo sobnega termostata. Naravnamo ga na 22° C. Soba je sprva hladna, zato temperatura narašča. Temperatura naraste nekaj nad 22° C, saj termostat ne reagira takoj. Ker je njegova reakcija nekoliko zakasnela, pride do nihanja temperature okoli 22° C.
• Pri tretjem sistemu ni (vsaj v nekem obdobju) ravnovesnega stanja. Krivulja predstavlja eksplozijo populacije, npr. število zajcev v Avstraliji, ki niso imeli naravnega tekmeca (plenilca).

Kaos

S pojmom dinamičnih sistemov je zelo tesno povezan tudi pojem kaosa. Teorija kaosa se je razvila šele v drugi polovici 20. stoletja, pri čemer nekateri menijo, da je teorija kaosa za relativnostno teorijo in kvantno mehaniko največji znanstveni dosežek 20. stoletja. Tukaj se bomo osredotočili le na tako imenovani deterministični kaos. Pri njem imamo opraviti z determinističnim sistemom, kjer povsem natančno poznamo vse zakonitosti njegovega časovnega razvoja. Primer takega sistema je npr. krogla na biljardni mizi, za katero vemo natanko, kako se bo odbila od stene bilijarda, če le poznamo njeno začetno smer. Sistem je kaotičen, če zaradi zelo majhne napake v poznavanju začetnih pogojev po določenem času ne moremo več povedati praktično ničesar o tem, v kakšnem stanju se nahaja sistem. V primeru krogle in biljardne mize bo sistem kaotičen, če ob zelo majhni napaki v poznavanju začetne smeri gibanja krogle, po določenem številu odbojev ne bomo imeli niti najmanjšega pojma, kje na biljardni mizi se nahaja krogla.

Oglejmo si še dva preprosta zgleda, ki kažeta, kako imajo lahko majhne vhodne spremembe velike izhodne posledice. Z letalom nameravamo odpotovati v Hamburg ob 8. uri zjutraj. Avtobus na Brnik ima odhod ob 7. uri zjutraj. Če poležimo v postelji nekaj minut predolgo, lahko zamudimo avtobus ob sedmih, zato ne moremo ujeti letala, ki odleti ob osmih. Počakati moramo na naslednjega, ki odleti šest ur pozneje. Pet minut (INPUT) povzroči povsem drugačno delovanje sistema in povzroči šesturno zamudo (OUTPUT). Še en nazorni in duhovit primer velike občutljivosti na začetne pogoje, lahko najdemo kar v ljudski pesmi :

Ker se je izgubil žebelj,
je bila izgubljena podkev.
Ker je bila izgubljena podkev,
je bil izgubljen jahač.
Ker je bil izgubljen jahač,
je bila izgubljena bitka.
Ker je bila izgubljena bitka, je bilo izgubljeno kraljestvo…

Poglejmo si naslednji slavni primer kaotičnega sistema. Biolog Robert May je proučeval časovno spreminjanje števila živali iste vrste v omejenem življenjskem prostoru (npr. ribe v ribniku). Za model je vzel preprosto diferenčno enačbo : X_n+1 = r X_n(a – X_n). X_n je število osebkov v nekem letu, X_n+1 pa število osebkov v naslednjem letu. r je parameter hitrosti rasti populacije in a je parameter, odvisen od velikosti življenjskega prostora. Faktor (a – X_n) nastopi zaradi prenaseljenosti, saj bližje kot bo vrednost X_n parametru a, manši bo faktor (a – X_n) in bo s tem zaustavil rast. May je zaradi enostavnosti vzel kar vrednost a=1. V simulacijah je spreminjal parameter r ter izbiral različne začetne velikosti populacij. Zanimalo ga je, kdaj doseže populacija ravnovesno stanje. Ugotovil je naslednje :

• pri majhnih “r” populacija izumre
• pri večjih “r” velikost populacije doseže ravnovesje pri vrednosti X različni od nič
• pri “r” nekaj večjem od 2 število osebkov začne nihati med dvema vrednostima (strokovne takemu pojavu pravimo, da je prišlo do bifurkacije)
• pri še večjem “r” začne število nihati med štirimi vrednostmi. Če je “r” še nekoliko povečal je sistem nihal med osmimi vrednostmi, pri še nekoliko večjem “r” nato med šestnajstimi vrednostmi itn. Podvojitve so si sledile zmeraj hitreje, dokler sistem pri dovolj velikem “r” ni zašel v popoln nered.

Vrednost ravnovesnega X v odvisnosti od r.

Razlika med vrednostjo “r_n“, pri kateri začne sistem nihati med 2ⁿ vrednostmi, in med vrednostjo “r”, pri katerem sistem preide v kaos, se zmanjšuje geometrijsko, kot dⁿ. Vrednost konstante d=4,6692016090. Prav presenetljivo pa je ta konstanta enaka za različne enačbe (natančneje, to velja za vse enodimenzionalne enačbe tipa X_n+1=f(X_n), kjer ima funckija f natanko en lokalno kvadraten maximum). Konstanto je odkril fizik Mitchell Feigenbaum leta 1975, tako da po njem tudi nosi ime, Feigenbaumova konstanta. Ali je Feigenbaumova konstanta algebrajska, ali pa se jo da izraziti s pomočjo ostalih matematičnih konstant (recimo števila pi in podobnih) ni znano.

Na kratko si oglejmo še model Lorenzovega vodnega kolesa, ki je ravno tako primer determinističnega sistema, ki se lahko giblje kaotično (odličen prikaz tega sistema lahko najdete tukaj). Lorentzovo vodno kolo deluje takole: na kolo pritrdimo lončke v enakomernih razmakih. Lončki naj imajo na dnu izvrtano majhno luknjico. Nad kolesom je nameščena vodna pipa. Če je curek vode iz pipe majhen, se kolo zaradi trenja sploh ne premakne, saj voda sproti izteka na dnu lončka. Če je curek močnejši, potem se kolo premakne zaradi sile teže, ki deluje na poln lonček (glej levo sliko spodaj). Če vodni curek ni premočan, potem se vrtenje kolesa ustali pri neki enakomerni kotni hitrosti (srednja slika). Če pa je nasprotno curek vode zelo močan, opravi kolo polni krog še predno se lončki izpraznijo. S svojo težo vrtenje ustavijo zasučejo kolo v drugo smer (zadnja slika). Kolo se vrti zdaj v eno smer, zdaj v drugo. Čeprav je sistem preprost, postane njegovo gibanje nepredvidljivo – kaotično.

Stanje sistema lahko popišemo z naslednjimi spremenljivkami: x naj bo vrtilna hitrost vodnega kolesa, y – razlika v prostornine vode, ki je v lončkih na desni oz. na levi polovicoi kolesa ter z – razlika prostornine vode v lončkih na zgornji in spodnji polovici kolesa. Časovno spreminjanje sistema sedaj lahko ponazorimo s tridimenzionalnim grafom, kjer za koordinate vzamemo kar spremenljivke x, y, z. Dobimo krivuljo v obliki dvojne spirale, nekoliko podobni krilom metulja – tako imenovani Lorenzov atraktor. Prehod iz enega dela krila atraktorja na drugi pomeni spremembo smeri vrtenja vodnega kolesa. Krivulja se nikoli ne seka, saj se stanje sistema nikoli ne ponovi. S tem primerom se tudi dotaknemo pojma fraktalov. Lorenzov atraktor je namreč tako imenovani čudni atraktor, kar pomeni, da ima (med drugimi lastnostmi) fraktalno dimenzijo.

Fraktali

Fraktali so objekti ali količine, ki izražajo samopodobnost na vseh razdaljah, vendar v nekoliko bolj tehničnem smislu. Objekt namreč ni nujno natančno sampopodoben na vseh razdaljah, vendar pa mora obstajati podobnost nekega “tipa” na sveh razdaljah. Slika te količine na log-log grafu mora potem dati ravno črto, katere naklon bo podajal fraktalno dimenzijo (to si bomo natančno pogledali malce kasneje na primeru Kochove snežinke). Tipičen primer fraktala je dolžina obale, ki jo merimo z ravnili različnih velikosti. Če bomo izmerili dolžino obale z zemljevida, kjer sploh ne vidimo malih zalivčkov, bomo izmerili drugačno dolžino, kot pa s pomočjo geodetskih pripomočkov. Če smo še natančnejši in upoštevamo še vse manjše zavojčke, skale in večje kamne, ki ležijo na obali, izmerimo še večjo dolžino obale. Tako bi lahko nadaljevali do zrnc peska, pa tudi do atomov. S tem, ko se naše merilo zmanjšuje, se dolžina obale povečuje, kar je tako imenovani paradoks dolžine obale.

Sedaj pa k slikam fraktalov. Nekaj značilnih primerkov je naslednjih

Fraktalna praprot	Mandelbrotova množica
Kochova snežinka	Trikotnik Sierpinskega
Juliajeva množica	Henonov fraktal

Benoit B. Mandelbrot, ki ga imajo mnogi za očeta fraktalov, je intenzivno raziskoval povezavo med naravo in fraktali. Odkril je, da narava razodeva mnogo fraktalnih oblik. Tako je mogoče z raznimi fraktali računalniško modelirati različne oblike narave, npr. gorovja, pokrajine, kontinente planetov, oblake, jezera, organe v medicini, potem tudi pojave v ekonomiji, fiziki, pojave v vesolju itn. Izpopolnil je idejo fraktalne dimenzije in iz nje izpeljal pojem “fraktal”. Kot vsi veliki misleci, je tudi Mandelbrot zajemal iz bogate dediščine velikih matematikov. Naštejmo nekatere: Gaston Julia, Pierre Fatou, Felix Hausdorf, James Yorke itn. Vendar pa se fraktal še dolgo ne bi pojavil, če ne bi bilo računsko in grafično zmogljivih računalnikov.

Fraktali so vizualno zelo zapleteni. Oglejmo si samo nekatere od zgornjih slik fraktalov, pa se lahko o tem prepričamo. Njihova osnovna značilnost, kot smo že omenili, je samopodobnost in z njo povezana fraktalna dimenzija. Da bomo ta pojem razumeli nekoliko bolje, vzemimo za primer Kochovo krivuljo. Osredotočimo se na eno stranico Kochove snežinke. Da jo narišemo, začnemo najprej z daljico, ki jo na eni tretjini in dveh tretjinah prelomimo ter vstavimo v nastali prostor dve stranici enakostraničnega trikotnika. Zatem ponovimo postopek z manjšima daljicama tega “trikotnika” ter ponavljajmo postopek v neskončnost.

Nastanek Kochove krivulje ( 1.)

Nastanek Kochove krivulje (2.)

S celotnim postopkom dobimo krivuljo, ki ni dvorazsežna, pa tudi enorazsežna ne, temveč je njena dimenzija enaka 1,2618! Le kako smo prišli do tako nenavadne številke? Seveda je odvisna od tega, kako definiramo dimenzijo. Smiselno definicijo nam poda naslednji razmislek. Vzemimo daljico dolžine a. Razdelimo jo na dve enako dolgi daljici, N = 2. Vsaka od manjših daljic imata sedaj dolžino ½ a, torej r = ½; kjer je r faktor pomanjšanja daljice. Daljico lahko razdelimo na poljubno mnogo enakih delov. Vsakič bo veljalo N · r = 1. Podobno bo veljalo za kocko dimenzije d, ki jo razdelimo na N enakih majhnih kockic, N · r^d = 1. Z logaritmiranjem nato izračunamo dimenzijo d; d = ln N / ln(1/r). Sedaj pa vzemimo Kochovo krivuljo in skušajmo zapisati podobno definicijo za njeno dimenzijo. Opazujmo risanje Kochove krivulje. V vsakem koraku daljico razdelimo (kot vidimo tudi na sliki – označeno z zeleno črto) na 4 enake dele: N=4ⁿ, kjer je n število koraka v katerem smo. Vsaka del je 1/3 daljice iz prejšnjega koraka, torej je r = (1/3)ⁿ. Iz tega lahko izračunamo dimenzijo Kochove krivulje kar po prejšnji definiciji d = (ln 4) / (ln 3), pri čemer je korak n pripravno odpadel iz računa (kot seveda mora, če naj ima definicija kakršenkoli smisel). To da številsko vrednost 1,2618, če zaokrožimo rezultat na prva štiri decimalna mesta.

Literatura:
Anita M. Killian ,Sky & Telescope,Playing Dice with the Solar System
Ivan Pucelj , PRESEK 2, V 1977-78 , Ploskavci
James Gleick, Kaos (Rojstvo nove znanosti)
Milan Ambrožič , ŽIT, Februar 1994, Teorija o kaosu

(Miran Horvat)

-