Meje kvantnega kaosa

Pred kratkim sem bil izzvan, naj na preprost način pojasnim, kaj fiziki raziskujejo v novem ERC projektu Meje kvantnega kaosa, katerega vodja je Lev Vidmar. Izvorno sporočilo za javnost o vsebini projekta, ki je objavljeno na spletni strani Univerze v Ljubljani, pravi takole:

Termalizacija in ergodičnost sta lastnosti, ki veljata za večino sistemov v naravi. Z njimi se pogosto srečujemo v vsakdanjem življenju, denimo ko se kocka ledu stali v topli pijači ali pa se vonj dišečega parfuma razleze po celotni sobi. Današnje razumevanje teh lastnosti na področju kvantnih sistemov je, da so posledica temeljnega principa v naravi, to je princip kvantnega kaosa. Kljub temu pa se nekateri sistemi ne podrejajo tem zakonitostim in kažejo drugačne lastnosti, ki niso skladne s principom kaosa. To vodi do prehoda med dvema različnima fazama: tisto, v kateri sistem termalizira, in tisto, v kateri ne termalizira. Na robu kvantnega kaosa torej lahko srečamo povsem novo vrsto faznih prehodov, ki jo imenujemo fazni prehod z zlomom ergodičnosti. Osrednja hipoteza projekta … temelji na dveh premisah: da se bližino faznega prehoda lahko zazna že v režimu, ki se zdi globoko v področju kaosa, ter da se ključne lastnosti faznega prehoda lahko opazi kot univerzalne lastnosti kvantne dinamike. Te premise omogočajo nov vpogled v razumevanje pogojev, kdaj bo zares prišlo do faznega prehoda in kdaj se ta pojavlja zgolj kot navidezna lastnost v majhnih kvantnih sistemih. …

Nekatere strokovne pojme, kot sta recimo ergodičnost in fazni prehod z zlomom ergodičnosti, bom poskušal pojasniti s prispodobo knjižnice.

Prispodoba knjižnice za razumevanje ergodičnosti

Predstavljajte si knjižnico z velikim številom knjig, ki so razporejene po policah. V knjižnico vsak dan nekdo vstopi in popolnoma naključno premesti nekaj knjig med policami. Če bi ta proces potekal dovolj dolgo, bi na koncu dosegli točko, ko bi knjige prešle skozi vse možne načine razporeditve po policah v knjižnici. Nekatere izmed teh načinov razporeditve knjig bi vključevale urejeno zložene knjige recimo po imenih avtorjev, po velikosti, po debelini ali na kak drug urejen način, drugi pa bi bili popolnoma razmetani, oziroma razporeditev knjig po policah ne bi imela nobenega reda.

Sistem je ergodičen, ko zanj velja ergodična hipoteza. Ergodična hipoteza pa je ideja, da če dolgo časa opazujemo sistem, bo njegovo vedenje sčasoma odražalo vsa možna stanja, v katerih se lahko sistem znajde. To pomeni, da če vzamemo povprečje, kako se sistem obnaša čez zelo dolgo obdobje, bo to povprečje enako kot če bi izračunali povprečje vseh možnih stanj sistema.

Kaj to pomeni na primeru knjig v knjižnici? Recimo, da nas zanima povprečna debelina knjig v knjižnici. To lahko izračunamo tako, da v nekem trenutku izmerimo debelino vseh knjig v knjižnici in izračunamo povprečje, ali pa zelo dolgo časa opazujemo zgolj knjige na eni izmed mnogih polic v knjižnici.

Če predpostavimo, da so knjige v knjižnici vsak dan naključno premeščane in da ima vsaka knjiga enako možnost, da se znajde na kateri koli polici, potem ergodična hipoteza trdi naslednje: če bi merili debelino knjig na določeni polici vsak dan skozi dolgo časovno obdobje in izračunali povprečje teh meritev, bi to povprečje moralo biti enako povprečni debelini vseh knjig v knjižnici. Ta predpostavka temelji na ideji, da se bo vsaka knjiga sčasoma pojavila na tej polici in da bo vsaka kombinacija knjig na tej polici enako verjetna kot katera koli druga.

To je primer, kako lahko ergodična hipoteza nadomesti mikroskopske lastnosti (debelina posameznih knjig) z makroskopskim povprečjem (povprečna debelina knjig na polici, ki na dolgi rok odraža povprečno debelino vseh knjig v knjižnici). Podobno v fiziki ergodična hipoteza omogoča sklepanje o makroskopskih lastnostih sistema (kot je temperatura) s povprečenjem mikroskopskih stanj (kot so pozicije in hitrosti posameznih delcev).

Fazni prehod z zlomom ergodičnost v knjižnici

Kako s primerom knjig v knjižnici ilustriramo fazni prehod z zlomom ergodičnosti?

Začnimo s situacijo, v kateri so knjige v knjižnici postavljene tako, da jih vsak dan naključno premeščamo. V tem ergodičnem režimu bi knjige sčasoma zavzele vsa možna stanja na policah – od popolnoma urejenih do popolnoma razmetanih. Časovno povprečje položaja knjig bi bilo reprezentativno za vse možne konfiguracije knjig v knjižnici.

Predstavljajmo si zdaj fazni prehod, ki povzroči zlom ergodičnosti. Ta fazni prehod bi lahko bil posledica nekega novega pravila ali omejitve. Recimo, da namestimo v knjižnico nekaj novih polic, ki so manjše, zato nanje ne moremo postaviti velikih knjig. Ali da se nekatere knjige prilepijo na police in jih ne moremo več premikati. Mogoče pride do izliva vode v poslopju knjižnice in nekaterih polic ne smemo več uporabljati in poškodavanih knjig premikati.

Vse to so primeri, ko knjižnica doživi fazni prehod in vstopi v neergodično stanje. To pomeni, da nekatere razporeditve knjig niso več mogoče. Čeprav knjige še vedno premeščamo, so nekatera stanja (na primer, določene knjige na določenih policah) trajno izključena iz možnih konfiguracij. Časovno povprečje položaja knjig v tej novi situaciji ne bi več odražalo vseh možnih stanj knjig v knjižnici, saj nekatere konfiguracije enostavno niso več mogoče.

Ta preprosta analogija pomaga razumeti, kako sistem, ki je bil prvotno ergodičen in je lahko prehajal skozi vsa svoja možna stanja, po faznem prehodu ni več ergodičen, kjer določene konfiguracije postanejo nedosegljive ali “zamrznjene”. Podobno se dogaja v fizikalnih sistemih, kjer fazni prehod vodi do situacije, kjer sistem ne more več doseči vseh svojih možnih mikroskopskih stanj.

Zlom ergodičnosti pomeni, da sistem ne sledi več statističnim pravilom, ki bi jih pričakovali za ergodičen sistem. To ima pomembne posledice za fizikalne lastnosti sistema in za način, kako te lastnosti matematično modeliramo in razumemo. Raziskovanje faznih prehodov z zlomom ergodičnosti je pomembno področje v fiziki trdne snovi in statistične mehanike, saj razkriva kompleksne interakcije in nenavadna stanja snovi.

Kvantna verzija knjižnice

Za kvantno verzijo prispodobe knjig v knjižnici moramo predpostaviti, da za knjige veljajo zakoni kvantne fizike. To prinese s seboj nekaj nenavadnih posledic, ki bistveno spremenijo način, kako razmišljamo o knjigah in njihovem položaju v knjižnici.

V kvantnem kontekstu bi lahko vsaka knjiga obstajala v stanju superpozicije, kar pomeni, da bi lahko bila hkrati na več policah, dokler njenega položaja ne bi izmerili ali opazovali. To je podobno znanemu miselnemu poskusu s Schrödingerjevo mačko, kjer je mačka v superpoziciji živega in mrtvega stanja, dokler ne pogledamo v škatlo.

Knjige bi lahko bile kvantno prepletene, kar pomeni, da bi lastnosti ene knjige (kot je njena debelina ali barva) lahko vplivale na lastnosti druge knjige, ne glede na razdaljo med njima. Če bi spremenili nekaj pri eni knjigi, bi to lahko takoj vplivalo na njeno prepleteno partnerko.

Prav tako lokacija in druge lastnosti knjig ne bi bile natančno določene, dokler jih ne bi opazovali ali izmerili. Namesto tega bi opisali verjetnosti, kje bi lahko bile knjige ali kako debela bi lahko bila posamezna knjiga.

V kvantni verziji ergodične hipoteze bi povprečje lastnosti knjig (kot je njihova debelina) na določeni polici v dolgem časovnem obdobju še vedno ustrezalo povprečju teh lastnosti za celotno knjižnico, vendar bi to povprečje zdaj vključevalo vse kvantne verjetnosti in superpozicijska stanja knjig.

Kvantni kaos in kvantna lokalizacija

Za konec še kratka pojasnitev dveh razmeroma zapletenih kvantnih konceptov. Predstavimo, da so knjige v knjižnici podvržene “kvantnim pravilom”, ki omogočajo, da so knjige na več mestih hkrati, kar je analogija za kvantno superpozicijo. V tem “kvantnem knjižničnem svetu” se položaji knjig začnejo obnašati na zelo nepredvidljive in kompleksne načine.

Čeprav je osnovno pravilo (kot je superpozicija) preprosto, vodi do zelo zapletenih in nepredvidljivih vzorcev, ko se za knjige lahko zdi, da “skačejo” s police na polico brez očitnega vzorca. To bi bil lahko nekakšen primer kvantnega kaosa: sistem, ki izhaja iz preprostih kvantnih pravil, a kaže izjemno kompleksno vedenje.

Za kvantno lokalizacijo pa si lahko zamislimo, da v isti knjižnici nekatera “kvantna pravila” povzročijo, da se knjige “zataknejo” na svojih policah. Ne glede na to, kako močno poskušajo “skočiti” na druge police (kot bi to lahko počele v kvantnem kaosu), jih nekatere sile ali omejitve jih držijo na mestu.

Ta pojav bi bil podoben Andersonovi lokalizaciji v kvantni mehaniki, kjer postanejo valovne funkcije delcev lokalizirane zaradi nepravilnosti ali nereda v sistemu, kot so nepravilnosti v kristalni rešetki, ki preprečujejo širjenje elektronov.

Opozarjam sicer, da gre za prispodobe, ki so zelo poenostavljene, a nam vseeno lahko pomagajo, da si nekatere kvantne in statistične koncepte, ki so sicer zelo abstraktni in težko intuitivno razumljivi, vsaj za silo predstavljamo.

-