Vpliva najrazličnejših rubrik v popularnih časopisnih prilogah, kjer nas domnevni “strokovnjaki” zasipajo z nasveti vseh vrst, nikakor ne gre podcenjevati. Ne le, da velikokrat ravno te rubrike krojijo mnenja ljudi in spreminjajo navade celotnih nacij, zgodi se tudi, da lahko takšna besedila sprožijo obsežne polemike tako med širšimi množicami kot tudi v ozki strokovni javnosti. Na področju zdravja in prehrane tako burne odzive seveda pričakujemo, povsem nekaj drugega pa je, če jih sproži preprosto matematično vprašanje.
Dve kozi in avtomobil
V reviji Parade, ki jo kot prilogo vsako nedeljo dodajo več kot štiristo ameriškim časopisom in doseže okoli sedemdeset milijonov bralcev, že dolgo izhaja rubrika z imenom “Vprašajte Marilyn”. Ureja jo Marilyn vos Savant, ki je zaslovela, ko jo je sredi osemdesetih Guinnessova knjiga rekordov razglasila za rekorderko z najvišjim inteligenčnim količnikom na planetu. V svoji rubriki zdaj že več kot dvajset let odgovarja na najrazličnejša vprašanja bralcev in rešuje njihove težave.
Med vsemi vprašanji, ki jih je kdaj obravnavala, ima prav posebno mesto na prvi pogled zelo preprost problem, ki ji ga je 9. septembra 1990 zastavil gospod Craig F. Whitaker: “Vzemimo, da sodelujete v nagradni igri, kjer vam ponudijo na izbiro troje vrat. Za enimi se skriva avto, za drugima dvema pa koza. Recimo, da izberete vrata številka 1, voditelj igre, ki ve, kaj se nahaja za posameznimi vrati, pa nato odpre vrata številka 3, za katerimi se pokaže koza. Nato vas vpraša: ‘Bi se sedaj raje odločili za vrata številka 2?’ Zanima me, ali se tekmovalcu splača zamenjati izbor vrat?”
Vprašanja se je prijelo ime “problem Montyja Halla”, po imenu voditelja popularne ameriške televizijske oddaje Pogodimo se (Let’s Make a Deal), v kateri je voditelj Monty Hall goste izzival, da so sprejemali ali zavračali najrazličnejše ponudbe, ki jim jih je zastavljal. Marilyn je bralcu v svoji rubriki odgovorila, da se nam vrata vsekakor splača zamenjati, saj se tako verjetnost, da bomo zadeli avto, poveča za dvakrat. Tole je njen odgovor: “Seveda se splača zamenjati vrata. Prva vrata imajo le 1/3 verjetnosti za zmago, medtem ko imajo druga verjetnost 2/3. Najlažje si vse skupaj predstavljate takole. Predpostavimo, da je na voljo milijon vrat in vi izberete prva. Nato voditelj, ki ve, kaj se nahaja za posameznimi vrati, odpre vsa vrata razen vrat številka 777777. V tem primeru bi zelo hitro zamenjali svoj izbor, kajne?”
Se najinteligentnejša ženska na planetu moti?
Vse skupaj bi seveda ostalo neopaženo, če se na odgovor gospe vos Savant ne bi usula prava ploha kritik. Revija Parade je prejela več kot deset tisoč pisem jeznih bralcev, med katerimi je bilo ogromno učiteljev matematike. Skoraj tisoč pisem je bilo podpisanih z imeni, ki so se kitila z doktorskimi nazivi, marsikatero pismo pa je bilo napisano na papirju z glavo katere od ameriških univerz. (Veliko teh pisem si lahko ogledate na Marilynini spletni strani: www.marilynvossavant.com.) Vsi v en glas so trdili, da Marylin zavaja bralce s svojim odgovorom, saj se verjetnost za zadetek nikakor ne more spremeniti, če vmes zamenjamo izbor vrat. Neki profesor matematike je bil zelo neposreden: “Udarili ste mimo! … Kot profesionalni matematik sem zelo zaskrbljen nad pomanjkanjem matematičnih veščin v širši javnosti. Prosim, da se opravičite in ste v prihodnosti bolj pazljivi.” Drugega je jeza tako prevzela, da je Marylin celo obtožil, da je ona sama koza.
Polemika je hitro prerasla okvir nedeljske revije in pristala celo na naslovnici New York Timesa, v razpravo so se vključila tudi nekatera znana imena iz sveta matematike. Neki novinar je takole povzel vzdušje, ki ga je sprožila razlaga vos Savantove: “O njenem odgovoru, da naj tekmovalec zamenja vrata, so razpravljali tako na hodnikih Cie kot v oporiščih vojaških pilotov ob Perzijskem zalivu. Analizirali so ga matematiki z MIT in računalniški programerji laboratorijev Los Alamos v Novi Mehiki.” Poleg žaljivih pisem, ki so njen odgovor kritizirala, je Marilyn vseeno prejela tudi nekaj pohval. Med drugim tudi od profesorja s prestižnega MIT: “Seveda imate prav. S kolegi v službi smo se poigrali s problemom in moram priznati, da je bila večina, med njimi sem bil tudi sam, sprva prepričana, da se motite!”
Marilyn se kritik ni ustrašila – navsezadnje je objektivno izmerljivo po inteligenčnem količniku pametnejša od vseh svojih kritikov -, zato je v eni od svojih naslednjih kolumn vsem učiteljem v državi zadala nalogo, da to preprosto igrico igrajo s svojimi učenci v razredu (seveda ne s pravimi kozami in avtomobilom) in ji pošljejo svoje rezultate. Te je nato tudi objavila in seveda so se povsem skladali z njenim nasvetom, da se v tem konkretnem primeru bistveno bolj splača spremeniti izbiro vrat.
Kdo ima prav?
Razprava o problemu Montyja Halla spada na področje, ki mu matematiki pravijo pogojna verjetnost. Najbolj preprosto rečeno je to veda, ki se ukvarja s tem, kako prilagoditi verjetnost za posamezne dogodke, ko se pojavijo novi podatki. Bistvo zapleta, ki je izzval tako obsežno in čustveno nabito reakcijo bralcev, je v tem, da so bralci večinoma spregledali ključni podatek. Zelo pomembno je namreč dejstvo, da voditelj igre vnaprej ve, za katerimi vrati je avtomobil.
Ko v drugem delu odpre vrata, za katerimi se pokaže koza, vnaprej ve, da za temi vrati ni avtomobila. Če voditelj te informacije ne bi imel in bi vrata odpiral povsem naključno tako kot igralec, se verjetnost za zadetek ob spremembi vrat res ne bi povečala. Potem bi držale ugotovitve več tisoč bralcev, ki so poslali jezna pisma na uredništvo revije, da Marilyn ne pozna osnov matematike. Matematična intuicija nam namreč pravi, da je verjetnost, da bo avto za enimi ali za drugimi vrati, ko so dvoja še zaprta, enaka. To je seveda res, če zraven ne bi bilo še voditelja, ki ve več kot mi.
Najlažje nejasnost pojasnimo, če analiziramo dogajanje izza kulis, od koder ves čas vidimo, za katerimi vrati je avto in kje sta kozi. Če tekmovalec že v prvo izbere vrata, za katerimi je avto, bo voditelj odprl katera koli od preostalih dveh vrat in zamenjava bo tekmovalcu v tem primeru le škodila. Ampak to velja le za primer, če v prvo izbere vrata, za katerimi je avto, verjetnost za to pa je 1 proti 3 oziroma 33-odstotna. Če pa v prvo tekmovalec izbere vrata, za katerimi je koza, bo voditelj moral odpreti edina preostala vrata, za katerimi se nahaja koza. V tem primeru se bo tekmovalcu zamenjava vrat v vsakem primeru obrestovala in bo tako z gotovostjo zadel avto.
Če v prvo tekmovalec izbere kozo, se mu vedno splača zamenjati, če pa v prvo izbere avto, se mu zamenjava ne izplača. Verjetnost, da v prvo izbere kozo, je 2 proti 3, medtem ko je verjetnost, da izbere avto, le 1 proti 3. Če se tekmovalec odloči za strategijo zamenjave, je zato verjetnost, da zadane avtomobil, 2 proti 3, če zamenjavo zavrne, pa je verjetnost pol manjša, 1 proti 3.
Če se torej drži strategije zamenjave vrat, ko mu jo voditelj ponudi, bo tako vedno, ko v prvo izbere kozo, ob zamenjavi vrat dobil avto, kar ga do dobitka pripelje v dvakrat večjem številu primerov, kot če zamenjave ne izbere. Verjetnost za zadetek se mu tako s 33 odstotkov poveča na 66 odstotkov.
Če vam ni takoj jasno, se ne sekirajte preveč. Tudi mnogi matematiki so potrebovali kar nekaj časa, da so si razjasnili ta problem.
Za konec pa še sorodna uganka, ki jo poskusite razrešiti sami: za družino z dvema otrokoma vemo, da ima vsaj enega fantka. Kakšna je verjetnost, da ima tudi punčko, če predpostavimo, da se v povprečju rodi enako število fantkov in punčk? Prava rešitev seveda ni 50 odstotkov!
