A. Etimologija in tujejezične ustreznice filozofskega termina
- gr. mathema, ta mathemata – “nauk, učenost; učna snov”, množina mathemata ali mathematika; gr. mathesis »znanost, spoznanje, nauk, poučevanje, izobraževanje« iz gr. manthanein – »učiti se, spoznavati, razumeti«
- lat. mathematica, nem. die Mathematik, ang. mathematics, fr. (les) mathématiques
B. Definicija oz. opis filozofskega termina
I. splošna definicija oz. opis glavnega pomena termina:
Filozofijo matematike zanima predvsem ontološki in epistemološki status matematičnih objektov (števila, geometrijski liki, množice…) in matematičnega znanja (aksiomi, izreki, dokazi…).
Oglejmo si preprosto matematično nalogo. Praštevila dvojčki so pari zaporednih praštevil, pri katerih je drugo število v paru za dve večje od prvega: (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43)… Zanima nas, ali je praštevil dvojčkov neskončno mnogo? Na prvi pogled bi rekli, da imamo na voljo zgolj dva odgovora: (a) zaporedje praštevil dvojčkov je neskončno ali (b) zaporedje se konča s parom praštevil dvojčkov, ki sta največja v zaporedju. Težko si zamislimo še tretjo možnost odgovora. Če smo prepričani, da sta mogoča zgolj odgovora a in b, potem smo matematični platonisti. Sistem števil razumemo kot avtonomni neodvisni svet, o katerem so domneve lahko le resnične ali neresnične. Dopuščamo sicer možnost, da o kaki lastnosti matematičnega sveta (še) ne vemo ali je resnična ali ni, a privzamemo, da sama po sebi lahko zgolj je ali ni resnična, ne more pa biti nekaj tretjega. Za matematične platoniste matematični objekti (števila, množice, funkcije, geometrijski liki…) obstajajo zunaj prostora in časa, zunaj materije in misli, v abstraktni realnosti, ki je neodvisna od zavesti, posameznika in družbe. Matematični platonizem je najbolj razširjena spontana filozofija matematikov, saj je njegovo bistvo prav prepričanje, da gre tudi pri matematiki »zares«, da tudi matematika odslikava neke skupne resnice, da ni le igra ugibanj in izpeljav. Če pa nekdo dokaže, da znotraj aksiomov teorije množic domneva praštevil dvojčkov ni odločljiva (ni ne resnična ne neresnična), lahko zastopamo stališče, da teorija množic ni dovolj dober akisomatski sistem, saj ne opisuje dovolj dobro abstraktnega sveta števil in tako ostanemo matematični platonisti. Svoje platonistično prepričanje lahko tudi spremenimo. Če verjamemo, da matematika svoje svetove zgolj ustvarja in ne opisuje že obstoječih, potem postanemo matematični anti-platonisti. Vendar smo takoj, ko zapustimo varno zavetje platonizma, soočeni z vprašanjem kriterija matematične resnice: kako sploh soditi o resničnosti matematičnih teorij, če matematika ne opisuje neodvisne matematične realnosti? V zgodovini matematike je bilo več poskusov osnovanja matematike na ne-platonističnih temeljih. Za vse te pristope je skupno prepričanje, da matematika ne obstaja neodvisno od matematikov. Matematiki ne odkrivajo in aksiomatizirajo že obstoječih svetov, ampak si aksiome poljubno izmišljajo, potem pa opazujejo, kakšni svetovi nastanejo na podlagi teh aksiomov. Formalizem trdi, da matematika sama nima pomena, saj je le igra simbolov, ki se igra po vnaprej določenih pravilih. Pravila lahko postavimo poljubno, le držati se jih moramo, zato je kriterij formalističnega pristopa predvsem konsistentnost. Matematični intuicionizem (konstruktivizem) izhaja iz stališča, da je matematika odsev strukture našega mišljenja. Sprejema samo matematiko, ki jo izpeljemo iz naravnih števil s končno konstrukcijo. Danes je ituicionistični pristop k matematiki ponovno zaživel, ker se povečini pokriva s tistim, kar je izračunljivo na računalniku. Omeniti velja še logicizem, ki poskuša matematiko zvesti na logiko; zanj je matematika ogromna tavtologija. Če razumemo logične aksiome kot apriorne idealne forme, ki urejajo vse možne svetove, tj. kot zakone najvišje splošnosti, se logicizem včasih prišteva k platonizmu. Tako sta npr. matematiko razumela Gottlob Frege in Bertrand Russell (v zgodnjem obdobju).
II. historični prikaz:
V zgodovini matematike lahko izpostavimo tri ključne mejnike, ki so pomembno vplivali na njen razvoj: Evklidova sinteza grška matematičnega znanja (okrog 300 pr.n.š.), iznajdba infinitezimalnega računa in pojma funkcije (okrog leta 1700) ter teorija množic (konec 19. stoletja). Pri vseh treh dogodkih, ki so temeljito zamajali same temelje matematične znanosti, je bil v ospredju spopad z matematično neskončnostjo, ki so jo matematiki vsakič uspeli nekako ukrotiti.
- Krizo grške matematike je povzročilo sesutje pitagorejskega programa identifikacije geometrije (pojavni svet) in teorije števil (intelegibilna bistva sveta). Pitagorejski program, po katerem bi vso matematiko (predvsem takratno geometrijo) prevedli na teorijo števil kot mnogoterosti enot, je propadel. Pitagorejci so zgroženi spoznali, da lahko med razdaljami v pravilnih likih najdemo tudi iracionalna razmerja, ki niso razmerja enot. Intelegibilno bistvo sveta torej ne more biti harmonija celih števil kot mnogoterosti enot, če je v pojavnem svetu (geometrija) nekaj, česar se na to bistvo sveta ne da zvesti. Grki so problem razrešili tako, da za osnovo niso vzeli števil kot mnogoterosti enot, ampak magnitude kot osnovne elemente geometrije. Evklid je svojo matematiko utemeljil na magnitudah (daljice) in aritmetiko prevedel na geometrijo. Razmerja med magnitudami so bila lahko tudi nesoizmerna (iracionalna), vendar so bila možna le med magnitudami iste geometrijske vrste. Z vpeljavo magnitud se je izgubila abstraktna moč števila. Enotnega polja števila, ki bi omogočal univerzalno primerjavo količin, tako ni bilo več. Podobno kot je eleatska kritika sesula hilozoistično fizikalno pojasnitev sveta, je tudi pitagorejsko številsko harmonijo kozmosa povozilo odkritje iracionalnih razmerij, ki niso harmonična. Če je bil pri fizikalnem pristopu problem, kako v osnovni element, oziroma v to, kar obstaja, ki je Eno, uvesti raznolikost, mnoštvo, je pri pitagorejskem pristopu problem, da mnoštvo števil ne pokrije vsega mnoštva v svetu. Če je pri grških fizikalistih problem, kako priti od enega do mnoštva, je pri pitagorejcih problem, kako shajati zgolj z eno vrsto mnoštva. V svetu je, kot kaže, še neko drugo mnoštvo, ki ni aritmetično. Aritmetično mnoštvo je mnoštvo dodajanja enot. Števila so množice razločljivih enot, ki jih lahko štejemo. Vse kar lahko preštejemo je števno mnoštvo. Ampak vsega v svetu ne moremo prešteti. Grki so problem z neskončnostjo v iracionalnih razmerjih števil razrešili tako, da so se oprli na jasno in nazorno predstavljivo geometrijo. Tako so lahko z analogijo števil kot daljic prišli v matematiki mnogo dlje kot bi zgolj s pojmom števila kot mnogoterosti enot. Vendar so morali plačati davek, saj tesna navezava matematike na nazorno geometrijo ni dopuščala, da bi lahko govorili o npr. magnitudi, ki ustreza razmerju intervala časa in intervala razdalje, ali pa volumna in površine telesa. Magnitude so bile le razmerja med geometrijsko (prestavljivo) istovrstnimi objekti.
- Novoveška kriza matematike se je pojavila, ko so matematiki spoznali, da je jezik za opis naravnega gibanja (matematična fizika) novi infinitezimalni račun, ki pa ga takrat (še) niso znali jasno formulirati. Račun je namreč temeljil na skrivnostnih neskončno majhnih količinah (infinitezimali), ki so imeli neko razsežnost, a ta je bila neskončno majhna. Če so se Grki pri spopadu z iracionalnimi razmerji lahko iz golega mišljenja zatekli na pomoč k nazorni geometrijski predstavi, to pri problemu z infinitezimali ni bilo več mogoče. Infinitezimalov si ni mogoče geometrijsko predstavljati, vendar bi to matematiki še nekako sprejeli, če tudi pri samem formalizmu ne bi bilo težav. Infinitezimale lahko namreč nekje v računu zanemarimo, drugje pa je njihova velikost ključnega pomena. Zakaj je tako, pa takrat zares ni vedel nihče. Temeljni problem matematike v osemnajstem stoletju je bil torej: kako postaviti infinitezimalni račun na trdne temelje. Ker ti temeljni ne morejo biti nazorno geometrijski, je torej gotovost potrebno najti v formalizmu. Uporaba infinitezimalov mora imeti natančna pravila, ki so medsebojno konsistentna.
- Temeljna težava infinitezimalnega računa je, da so nekatere količine (infinitezimali) lahko v istem izrazu enkrat zanemarljive, torej lahko njihovo vrednost postavimo na nič, drugič pa je vse narobe, če njihovo vrednost postavimo na nič. Kot pravi Leibniz: »Priročno je imeti neskončno majhne količine za upoštevanja vredne, ko iščemo njihova razmerja, in zavržemo jih lahko vedno, ko se nahajajo zraven zanje neprimerno večjih količin. Tako lahko dx v izrazu x + dx zavržemo. Vendar je drugače, če iščemo razmerje med x + dx in x. Podobno izraza x dx in dx dx ne moreta stati skupaj. « (Leibniz; Math. Schriften, 4, 63.) V prvem učbeniku diferencialnega računa je bila uporaba infinitezimalov nejasno definirana: »Postulat I: Dve količini, ki se razlikujeta le za neskončno majhni del, lahko pri uporabi medsebojno zamenjujemo oziroma imamo lahko količino, ki se poveča ali zmanjša za neskončno majhni del, za nespremenjeno.« (l’Hospital: Analyse des infiniment petis). Tudi sam Leibniz je v mnogih pismih pojasnjeval naravo infinitezimala in tako prepričeval kolege, da je uporaba neskončno majhnih količin smiselna: »Neskončno majhno ni preprosto absolutni nič, ampak relativni nič oziroma izginjajoča količina, ki še ohranja karakter tega, kar izginja.« (Leibniz; Math. Schriften, 4, 218.)
- Morda najbolj znano kritiko infinitezimalnega računa je leta 1734 spisal Berkeley in začel dolgo trajajočo debato o trdnosti osnov infinitezimalnega računa. V spisu The Analist se je spraševal po naravi infinitezimalov in po stopnji njihove realnosti: »In kaj so te fluksije? Hitrosti izginjajočih prirastkov? In kaj so sami ti izginjajoči prirastki? Niso ne končne količine, ne neskončno majhne količine, a tudi nič ne. Ali jih ne bi raje imenovali duhovi umrlih količin?« (Berkeley: The Analyst, par. 35)
- Tretja velika kriza v zgodovini matematike je nastopila ob koncu devetnajstega stoletja, ko tudi konsistentnost kot kriterij za dobro osnovanost matematične teorije ni bila več zanesljiva.
- Georg Cantor je v drugi polovici 19. stoletja pokazal, da realnih števil oziroma točk na črti (kontinuum) ni mogoče prešteti. Čeprav je naravnih števil neskončno, lahko vseeno pokažemo, da se preštevanje realnih števil nikoli ne izide. Predpostavimo, da smo realna števila prešteli in jih zapisali v neskončno dolg spisek, kjer je v vsaki vrstici po eno realno število, vrstice pa so oštevilčene z naravnimi števili. Cantor je pokazal, da lahko za vsak tak spisek števil pokažemo, da na njem manjka vsaj eno realno število. Iz spiska lahko vedno skonstruiramo še eno realno število, ki ga na spisku ni. Prvemu realnemu številu vzamemo prvo decimalko in jo spremenimo ter postavimo na prvo mesto novega realnega števila. To novo realno število tako ne bo enako prvemu na spisku. Za drugo decimalko postavimo števko, ki ni enaka števki na drugem mestu drugega števila s spisa. Tako nadaljujemo čez cel spisek in skonstruiramo novo realno število, ki se razlikuje od vseh števil na spisku. Ko je Cantor ugotovil, da je realnih števil več kot je naravnih, se je vprašal, ali obstoji še kaka neskončna množica, ki bi bila večja od množice naravnih števil in manjša od množice realnih števil (Cantorjev problem kontinuuma). Domneval je, da takšne množice ni, a tega ni znal dokazati. Danes vemo, da njegova hipoteza v akisomatskem sistemu standardne teorije množic ni odločljiva.
- Na začetku 20. stoletja je David Hilbert predlagal načrt razvoja vse matematike v okviru strogo aksiomatične metode. Po Hilbertovem mnenju je matematika formalna igra simbolov, ki temelji na predpisanih aksiomih (formalizem). Hilberta ni zanimalo, kaj so števila »zares«, ampak je stvar obrnil: števila so tisto, kar zadosti aksiomom za števila. Bistveni zahtevi aksiomatskega sistema sta neprotislovnost (ne sme se zgoditi, da bi iz aksiomskega sistema lahko izpeljali dve trditvi, ki se vzajemno izključujeta) in polnost (aksiomski sistem naj bi bil dovolj bogat, da bi omogočil dokazati vsa “resnična dejstva” o ustrezni strukturi). Da bi zadostili obema zahtevama, moramo upoštevati zelo občutljivo ravnovesje med njima. Za dosego polnosti je namreč treba včasih zelo povečati število aksiomov, toda večje, ko je število aksiomov, večja je tudi nevarnost, da smo z njimi morda ustvarili protislovje.
- Leta 1931 je Kurt Gödel v dveh presenetljivih teoremih pokazal, da Hilbertov program ni uresničljiv. V vsakem neprotislovnem aksiomskem sistemu, ki je dovolj bogat, da lahko v njem razvijemo elementarno aritmetiko celih števil, vedno obstajajo trditve, nanašajoče se na ta sistem, ki jih na osnovi aksiomov sistema ni mogoče niti dokazati niti ovreči (prvi Gödlov izrek). Pri pogoju, da je sistem neprotisloven, je nedokazljiva tudi trditev, ki pravi, da je ta sistem neprotisloven. Vsak dovolj bogat konsistenten akiomatski sitem ne more sam dokazati svoje konsistentnosti (drugi Gödlov izrek). Če znotraj akiomatskega sistema lahko dokažemo, da je sistem konsistenten, potem sistem ni konsistenten. Konsistentnost Peanovih akisomov za naravna števila lahko dokažemo znotraj teorije množic, ne pa znotraj samih naravnih števil.
C. Bibliografija
- Platon: Država, Menon, Timaj…
- Aristotel: Metafizika, Založba ZRC 1999.
- Evklid: Les Elements, vol. 1, 2 in 3, PUF, Pariz 1990, 1994, 1998.
- Morris Kline: Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times vol. I, II in III, Oxford University Press 1974.
- William Ewald (ur.): From Kant to Hilbert, A Source Book in the Foundations of Mathematics vol. I in II, Clarendon Press, Oxford 1996.
- Paul Benacerraf and Hilary Putnam (ur.): Philosophy of Mathematics, Selected Readings. Cambridge: Cambridge University Press, 1983.
To je poskusna verzija gesla! Komentarji in nasveti preko foruma so dobrodošli.
(Sašo Dolenc, kvarkadabra.net)
