Toni, ki jih ni a jih slišimo


    Zanima me, zakaj nastane pri zvočnem valovanju dveh tonov nov ton?

    Ta pojav marsikje tudi s pridom uporabljajo- npr. pri tako imenovanem akustičnem basu. V Milanski stolnici imajo pri orglah na ta način umetno narejen 64″ register. Za dosego tega tona uporabljajo piščali iz 32″ registra. Uporabijo piščal tona C2 in tona G3. Interval med tema dvema tonoma je čista kvinta. Ko se obe frekvenci tega tona združita nastane nov ton in sicer za oktavo nižji. To je C3, ki ga sicer lahko dobimo samo s 64″ veliko piščaljo (oz okoli 19.5 m). Še bolj zanimivo je, kaj se zgodi, ko skupaj zazvenita bolj sorodna tona, npr. D1 in CIS2, kjer lahko slišimo nihanje zraka, ki ima le nekaj Hz (okoli 3 Hz- za primerjavo : osnovni ton a ima 440Hz, meja sluha pa je pri okoli 20 nihajev/s oz. Hz). Seveda ta ton lahko le občutiš. Tovrstne stvari lahko zelo hitro preizkusimo na orglah, ki imajo 16″ register (ali še bolje 32″-npr. Frančiškanska cerkev, Uršulinska, Stolnica, Cankarjev dom). Pojav je zelo zanimiv, in predstavlja 2 frekvenci, ki se združita in tvorita nek novi ton. Zanima me, zakaj se to zgodi in kako lahko izračunamo kateri ton se pojavi (kaj nastane, če npr. pritisnem ton D2 in C2)? Poleg tega me zanima še, kako si sledijo za pol tona višji toni oz. s katerim ulomkom ali številom moram pomnožiti prejšnjo frekvenco, da dobim frekvenco višjega poltona?

    Začnimo z zadnjim vprašanjem. Kot za vsa čutila tudi za uho velja, da je občutek, ki ga zaznamo, sorazmeren logaritmu zunanjega dražljaja. To velja tako za zaznavanje glasnosti zvoka, kot tudi njegove višine, ki nas trenutno zanima. Frekvence sosledja tonov, ki se med seboj razlikujejo za neko slišno enoto (npr. polton, cel ton, oktava, katerikoli drugi interval), dobimo zato tako, da frekvenco vsakič pomnožimo z istim faktorjem, ki je pač odvisen od izbire intervala. Za oktavo je ta faktor 2, torej se vsakič, ko se premaknemo po klaviaturi za oktavo navzgor ali navzdol, frekvenca tona množi oziroma deli z 2.

    Oglejmo si, kakšen je ta faktor za poltonski interval. Vemo, da lahko oktavo razdelimo na 12 (enakih!) poltonov, po prejšnji ugotovitvi pa se mora z vsakim poltonom frekvenca pomnožiti z enakim faktorjem. Ta faktor je tako 21/12, oziroma dvanajsti koren iz 2. Za poljuben interval je omenjeni faktor 2p/12, kjer je p velikost intervala, merjena v poltonih. Zapišimo torej še enkrat:
    f = f0 * 2p/12 ,
    kjer sta f in f0 frekvenci tonov, p pa število poltonov med njima. Lahko preverimo: za oktavo (p=12) dobimo pravilno 2, za kvinto (p=7), na primer, pa okrog 1.498, kar približno ustreza racionalnemu številu 3/2 (1.5).

    Če imamo dano ramerje frekvenc dveh tonov in nas zanima, kolikšna je razdalja med njima v poltonih, prejšnjo formulo obrnemo in dobimo
    p = 12 log2 (f / f0).

    Preden se posvetimo ostalim vprašanjem, se še malo izobrazimo. Če zaigramo nek ton na katerikoli instrument ali če zapojemo, se hkrati z osnovnim tonom oglasijo tudi alikvotni toni, to je toni katerih frekvence so večkratniki frekvence osnovnega tona. Na ta način dobimo harmonsko vrsto. Prvi alikvotni ton v tej vrsti (2-kratna frekvenca) po prejšnjem očitno ustreza oktavi. Naslednji s trikratno frekvenco pa ustreza tonu, ki je za pribl. 7.02 poltonov višji od oktave in se torej skoraj natančno ujema s tonom, ki je za oktavo plus kvinto višji od osnovnega tona (to je za 7 poltonov). Če je osnovni ton C1, potem je prvi alikvot natanko C2, drugi skoraj natančno G2, tretji spet natančno C3. Četrti alikvot (5-kratna frekvenca) je za pribl. 3.86 poltonov nad tonom C3, kar približno ustreza intervalu velike terce oziroma tonu E3. Vendar je tu odstopanje že precej veliko in za človeka z boljšim posluhom zlahka slišno. Nato si alikvoti sledijo takole: G3, ton med A in A#, C4, D4, E4, ton med F in F# in tako naprej (glej sliko, kratke črtice označujejo poltone v enakomerni uglasitvi). Pri višjih frekvencah so vse pogostejši alikvoti, ki ne padejo v bližino nobenega tona, ampak so nekje vmes.

    Danes glasbila uglašujemo po zgornji formuli, tako da so vsi poltoni res enako veliki (enakomerna uglasitev). Vidimo pa, da se zaradi tega nobeni alikvotni toni razen oktave ne ujemajo s toni v uglasitvi. To nekoliko kazi zven akordov, vendar ni boljše možnosti. Včasih so uglaševali tako, da so se toni v uglasitvi natanko ujemali s pomembnejšimi alikvoti (obstaja cel živalski vrt različnih uglasitev). Taka glasbila so bila primerna le za igranje v eni tonaliteti, saj je lepo zvenelo le nekaj akordov te tonalitete, ostali pa obupno. Že Bach pa je pokazal (v zbirki skladb z naslovom Dobro uglašeni klavir), da je najboljša enakomerna uglasitev. Gotovo pa so tu na najboljšem godalci in (zborovski) pevci, ki lahko višino proizvajanega tona brez težav nekoliko prilagajajo njegovi funkciji v akordu, pač tako, kot jim narekujeta posluh in občutek.

    Pojav, pri katerem ob sočasnem zvenenju dveh ali še bolje več tonov slišimo ton, nižji od vseh zaigranih, je v angleščini znan pod imeni periodicity pitch, missing fundamental ali subjective fundamental. Gre za to: če zaigrani toni predstavljajo del harmonske vrste, bomo hkrati slišali tudi osnovni ton, ki mu ta vrsta pripada. Pri tem gre za slušno prevaro, kar pomeni, da osnovna frekvenca nikjer na poti od zvočila do ušesnih kosti in tekočine ni fizično prisotna, ampak jo doda šele živčni sistem. Če torej zaigramo tona s frekvencama 65.4Hz (ton c) in 98.1 Hz (ton g), bomo (morda) slišali tudi ton s frekvenco 32.7 Hz (za oktavo nižji ton c), saj zaigrana tona predstavljata dva- oziroma tri-kratnik osnovne frekvence 32.7 Hz. Če zaigramo tona c (65.4 Hz) in d (73.4 Hz), katerih frekvenci sta približno v razmerju 8:9, bi imel privzeti osnovni ton frekvenco 8 Hz, kar je seveda izven slišnega obsega.

    Ker smo dejali, da gre pri vsem skupaj za slušno prevaro in da osnovna frekvenca sploh ni fizično prisotna, opisani pojav ne more biti vzrok za nihanje zraka, kot ga navajate v vprašanju. Sta še dve možnosti. Kadar je glasnost zvoka dovolj visoka, pride pri sprejemanju zvoka (v ušesu) do nelinearnih pojavov, zaradi katerih se prvotna sinusna oblika zvočnega vala popači. Če zaigramo dva tona hkrati (s frekvencama f1 in f2), to pomeni, da poleg osnovnega tona in alikvotov slišimo še tone s frekvencami f = m f1 + n f2, kjer sta m in n celi števili. Vendar tudi to ne more biti vzrok za nihanje zraka.

    Naslednja možnost je utripanje, o katerem ste se zagotovo učili v šoli: če zaigramo dva tona z različnima frekvencama, lahko slišimo, kako jakost nastalega zvoka periodično niha – utripa, in sicer s frekvenco, ki je enaka razliki frekvenc obeh tonov. Seveda je pojav slišen le, če sta frekvenci dovolj blizu skupaj, tako da je frekvenca utripanja dovolj majhna. Na osnovi utripanja delujejo tudi merilniki frekvenc, napravice za uglaševanje… Z ne preveč truda in vaje se da poslušati tudi utripanje med tonom in alikvotom drugega tona. Tako bi s prejšnjima tonoma c in d dobili utripanje s frekvenco 8 Hz. S tonoma c# in d (naslednje oktave, interval med tonoma je velika septima) pa lahko slišimo utripanje s frekvenco 4.1 Hz med prvim alikvotom tona c# in tonom d. Vendar se bojim, da nadaljna razprava brez eksperimentalnih opažanj ni mogoča.

    P.S. Avtorja bi zelo zanimala eksperimentalna plat problema, za kar se priporoča bralcu.

    (Daniel Svenšek)

    PUSTITE KOMENTAR

    Vpiši svoj komentar!
    Prosimo vpišite svoje ime

    This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.