Mož, ki je dokazal, da vsega ni mogoče dokazati

    752

    Kurt Gödel velja za enega najpomembnejših logikov vseh časov. Njegov dokaz, da tudi v matematiki ni mogoče vsega dokazati, uvrščajo med največje dosežke znanosti 20. stoletja. Mnogi matematiki so bili namreč prepričani, da je mogoče iz skrbno določenih osnovnih pravil, ki jim pravimo aksiomi, izpeljati vse matematične resnice. Matematiko so razumeli kot nekakšen računalniški program, ki naj bi znal iz dobro izbranih osnovnih definicij izpeljati vse matematične izreke. Gödel pa je pokazal, da takšnega popolnega matematičnega sistema ne bomo mogli nikoli ustvariti.

    Kurt Gödel, ki so ga domači zaradi neizmerne zvedavosti v mladosti klicali kar Herr Warum (Gospod Zakaj), se je rodil leta 1906 na Moravskem (danes Brno na Češkem), kjer je bil njegov oče lastnik in direktor tekstilne tovarne. Na dunajski univerzi je sprva študiral fiziko, nato pa je presedlal na matematiko in med študijem leta 1927 spoznal nekaj let starejšo barsko plesalko Adele Nimbursky.

    Družina je zvezi z neizobraženim dekletom nasprotovala, a se Kurt ni vdal pritiskom. Vztrajal je, vendar je moral vseeno počakati dobro desetletje, preden sta se z Adele lahko končno poročila. Čeprav se zdi zakon med nešolano barsko plesalko in vrhunskim matematikom že na prvi pogled obsojen na neuspeh, se je izkazalo, da sta se čudaški logik in neizobražena, a hkrati inteligentna plesalka dobro ujela. Adele in Kurt sta živela skupaj vse do njegove smrti konec sedemdesetih let dvajsetega stoletja.

    Po vzponu nacizma so Kurta nekoč, verjetno misleč, da je Jud, na Dunaju napadli huligani, povezani z vladajočo nacistično stranko. Rešila ga je prisebna žena, ki je odgnala nasilneže in obranila krhkega moža, ki je svojo energijo raje porabljal za abstraktne matematične izpeljave kot pa za krepitev mišic.

    Ko so ga ob začetku druge svetovne vojne poklicali na zdravniški pregled kot potencialnega nemškega vojaka, se je odločil, da bo pobegnil iz države. Z Adele sta se odpravila na dolgo večmesečno pot preko Rusije in Japonske do Amerike, kjer so se že zbrali nekateri njegovi znanstveni kolegi, ki pod nacizmom v Evropi niso bili več zaželeni. Avstrijo sta zapustila 18. januarja 1940 in v San Francisco prispela 4. marca.

    V ZDA se je Gödel zaposlil v Princetonu na Institute for Advanced Study, ki ga je Adele ljubkovalno imenovala kar Dom znanstvenih upokojencev, saj je v njem našlo zavetje veliko starejših pribežnikov iz Evrope. Gödel je inštitut v tridesetih letih že večkrat obiskal kot gostujoči profesor, zato je dobro poznal tamkajšnje razmere in delovno okolje.

    Najslavnejši raziskovalec na inštitutu je bil nedvomno Albert Einstein, s katerim sta kmalu postala tesna prijatelja. Vsak dan sta se skupaj sprehodila od doma do inštituta in nazaj ter se med hojo veliko pogovarjala. Mlajši zaposleni so se kasneje spominjali, da je bil Gödel edini, ki se je z Einsteinom družil kot s sebi enakim, vsi drugi se ob velikem in slavnem fiziku niso počutili tako sproščeni.

    Gödel je že med drugo svetovno vojno kot begunec zaprosil za ameriško državljanstvo, za kar je moral opraviti nekaj izpitov oziroma pogovorov z uradniki, ki so preverjali, ali kandidat pozna ameriški pravni sistem. Kot vestni logik se je priprave na intervju lotil sistematično in najprej podrobno analiziral ameriško ustavo. Ob tem je našel nekakšno logično zanko, ki naj bi omogočala, da bi v ZDA povsem legalno vzpostavili diktaturo. Svojo ugotovitev je sprva želel predstaviti tudi uradnikom na pogovoru v okviru preverjanja vloge za državljanstvo, a sta bila Einstein in ekonomist Oskar Morgenstern kot poroka pri njegovi vlogi dovolj spretna, da sta ga še pravočasno utišala in tako preprečila zaplet.

    Gödel je bil vseskozi znan po tem, da je k problemom pristopal na nekoliko drugačen način kot večina. Ko so ga ob neki priliki prosili, da bi prispeval kak članek za zbornik o Einsteinovem delu, je opisal izvirno rešitev Einsteinovih enačb splošne teorije relativnosti, ki je obravnavala vesolje, v katerem je mogoče potovati tudi v času nazaj.

    Po dopolnjenih sedemdesetih, ko je bil v ZDA že skoraj štiri desetletja, se je končno upokojil. Leto kasneje je morala Adele na operacijo, zaradi katere so jo dalj časa zadržali v bolnišnici. Za Kurta, ki ni bil vajen osame, je bila začasna ločitev od žene prava katastrofa. Že prej je imel najrazličnejše psihične težave, zdaj pa je dokončno nehal jesti v prepričanju, da ga poskušajo zastrupiti. Ko se mu je zdravje močno poslabšalo, so ga odpeljali v bolnišnico, a je hrano tudi tu še vedno zavračal. Po dveh tednih je 14. januarja 1978 zaradi podhranjenosti umrl. Tik pred smrtjo je imel komaj 30 kilogramov.

    Izrek o nepopolnosti

    Čeprav je Gödel znan zaradi mnogih pomembnih novih spoznanj na področju matematike in logike, je njegov največji in najvplivnejši dosežek nedvomno dokaz, da tudi v matematiki ni mogoče vsega dokazati.

    Leta 1931 je objavil članek, v katerem je pokazal, da lahko v vsakem matematičnem sistemu, v katerem je mogoče izvajati vsaj osnovne računske operacije, zapišemo formulo, ki zase trdi, da je ni mogoče dokazati oziroma izpeljati iz aksiomov tega sistema. Obstoj takšnih trditev predstavlja velik problem, saj vodijo v protislovja. Če namreč takšno trditev dokažemo, potem to pomeni, da ni resnična, saj trdi, da je ne moremo dokazati, mi pa smo jo dokazali, kar je očitno protislovje.

    Kaj pomeni Gödlovo spoznanje, si lahko preprosteje ponazorimo s prispodobo slavnega antičnega paradoksa o lažnivcu. Če rečem: »Lažem,« potem ta moja izjava ne more biti ne resnična ne neresnična. Če je namreč resnična in res lažem, potem iz nje sledi, da je resnična izjava: »Ne lažem,« kar pa se ne ujema z resničnostjo izjave: »Lažem.« Do podobnega zapleta pridemo tudi pri Gödlovi formuli, ki pa nasprotno od paradoksa lažnivca velja za vse matematične sisteme.

    S svojim izrekom o nepopolnosti je Gödel pokazal, da matematike ni mogoče vzpostaviti kot celostnega logičnega sistema, saj zmeraj obstajajo trditve, za katere ne moremo zgolj s formalno izpeljavo pokazati, ali so resnične ali neresnične. Matematike tako nikakor ne moremo zaobjeti z nobenim končnim sistemom aksiomov.

    Kaj to pomeni?

    Z vprašanjem, kaj to abstraktno Gödlovo spoznanje dejansko pomeni, se je kmalu po objavi članka veliko ukvarjal tudi angleški matematični genij Alan Turing. Prav med razmišljanjem, kako bi si lahko Gödlove abstraktne zaključke bolj nazorno in oprijemljivo predstavil, je prišel na idejo Turingovega stroja oziroma teoretičnega zametka tega, čemur danes pravimo računalnik.

    Če računalnik razumemo lot logični stroj, ki deluje po pravilih, ki mu jih vnaprej določimo, potem lahko izrek o nepopolnosti razumemo kot spoznanje, da bodo zmeraj obstajali problemi, ki jih računalnik ne bo mogel rešiti. Turing je pokazal, da predstavlja analogen problem, kot ga je zasledil Gödel pri svojem izreku o nepopolnosti, v računalniškem svetu problem končnega števila korakov izvajanja nekega algoritma oziroma programa. Program se lahko konča z rešitvijo ali pa se izvaja brez konca. Na osnovi Gödlovih izpeljav je Turing dokazal tudi, da iz samega algoritma ne moremo izvedeti, ali se bo neki program izvajal v neskončnost ali pa bo lahko nekoč prišel do končne rešitve.

    Kar nekaj ljudi se je spraševalo tudi, ali lahko iz Gödlovih spoznanj s področja logike in matematike potegnemo kake zaključke tudi glede mišljenja ljudi. Naš razum namreč deluje po načelih logike oziroma je neke vrste »računalnik«, za katerega prav tako veljajo Gödlove ugotovitve.

    Vendar v vsakdanjem življenju ne opažamo, da bi imeli pretirane težave s paradoksi, kakršne je za formalne sisteme opisal Gödel. Kaj to pomeni? Lahko iz tega zaključimo, da ljudje nismo stroji oziroma da človeško mišljenje ni prevedljivo na formalni logični sistem? Da obstaja še nekaj drugega poleg razuma? S temi vprašanji se je zadnja desetletja svojega življenja veliko ukvarjal tudi sam Gödel, a do dokončnih odgovorov ni prišel.

    Njegovi zapiski, v katerih je razvijal običajne logične in matematične argumente, so zelo pregledni in jasni, zapiski razmišljanj, kako se lotiti implikacij izreka o nepopolnosti za človeško mišljenje, pa so povsem drugačni. Vse je večkrat prepisano, prečrtano, pobarvano in porisano. Kot da Gödlu nikakor ni uspelo najti primernega načina, kako bi sploh pristopil k tej zapleteni problematiki.

    Sašo Dolenc