Mož, ki je preštel neskončnost

    »Obstaja pojem, ki druge razkraja in mednje vnaša zmedo. Ne govorim o zlu, ki je omejeno le na področje etike, ampak o neskončnosti.« Čeprav bi morda pričakovali, da je te besede zapisal kak matematik ali znanstvenik, temu ni tako. Njihov avtor je argentinski pisatelj Jorge Luis Borges in z njimi je zadel prav v bistvo problema, ki je pestil že mnoge mislece pred njim. Neskončnost je pojem, ki se vedno znova pojavlja v najrazličnejših filozofskih, matematičnih in fizikalnih razpravah, a ga nenehno obkrožajo same težave in protislovja. Ljudje neskončnosti namreč ne moremo neposredno dojeti, kot je to običaj z drugimi pojmi, ampak si jo lahko predstavljamo le posredno. Običajno neskončnost opišemo s prispodobo zaporedja brez konca ali brezmejnosti, vendar se tako hitro srečamo s težavami, saj vstopimo na področje, kjer svoji intuiciji ne moremo povsem zaupati.

    Ni ene same neskončnosti

    Skozi zgodovino je veliko učenjakov razmišljalo o pojmu neskončnosti in prišli so do mnogih zanimivih in pomembnih spoznanj, a največji napredek v procesu razumevanja tega težavnega pojma se je zgodil šele v drugi polovici devetnajstega stoletja, ko se je problema neskončnosti na povsem nov način lotil matematik Georg Cantor (1845–1918).

    Cantorju je uspelo to zapleteno miselno področje z nekaj preprostimi definicijami jasno opredeliti, tako da je lahko pojem neskončnosti sistematično in podrobno proučil. Na veliko začudenje znanstvene in filozofske javnosti pa je že kmalu ugotovil, da ni ene same neskončnosti, ampak je različnih neskončnosti kar neskončno mnogo. To je ugotovil po skrbnem in natančnem premisleku in vse stopnje svojih ugotovitev tudi natančno formalno dokazal, tako da so danes njegove ideje vgrajene v samo jedro sodobne matematike.

    Ena prvih težav, s katerimi se je moral spopasti, je bila že sama opredelitev tega, kaj sploh je neskončnost. Najbolj preprosta je seveda definicija neskončnosti kot brezmejnosti: neskončno je tisto, kar je večje od česar koli končnega. Cantor je tu naredil pomemben korak naprej, saj je neskončno definiral kot tisto, česar del je enako velik kot celota. Morda se sliši protislovno, ker smo vsi intuitivno navajeni na končno velike razsežnosti, pri katerih je del zmeraj manjši kot celota, a kot smo že rekli, pri vprašanjih neskončnosti intuicija ni najboljši vodnik.

    Kako primerjati neskončnosti?

    Vendar Cantor ni iznašel le novih načinov za obravnavo neskončnosti, ampak je tudi začetnik vsem dobro poznane teorije množic, ki jo otroci že nekaj desetletij spoznajo kar v osnovni šoli. Ko je razmišljal o svoji novi teoriji, se je kmalu soočil z vprašanjem, kako sploh primerjati dve množici po velikosti. Izhajal je iz povsem intuitivnega določila, da sta dve množici enako veliki, če lahko vsakemu elementu prve priredimo natanko en element druge množice. Dve skupini otrok sta tako enako veliki, če se lahko vsak otrok iz prve skupine prime za roko v par z otrokom iz druge skupine.

    Cantor je metodo primerjanja velikosti s pomočjo »držanja za roko« posplošil tudi na neskončne množice. Dve neskončni množici sta enako veliki, če lahko vsakemu elementu prve priredimo element druge množice. Po tej definiciji je množica sodih števil enako velika kot množica vseh naravnih števil, saj lahko vsakemu naravnemu številu priredimo sodo število preprosto tako, da ga pomnožimo z dve. Ena se tako drži za roko z dve, dve se drži za roko s štiri, tri s šest in tako naprej v neskončnost. Ker smo vsakemu elementu prve množice priredili element druge, sta obe množici po naši definiciji enako veliki, čeprav bi lahko rekli tudi, da je naravnih števil dvakrat več kot sodih, saj naravna števila sestavljajo skupaj soda in liha števila.

    In ravno prek tega čudnega določila, da sta dve množici enako veliki, čeprav je lahko ena dvakrat večja kot druga, je Cantor definiral neskončno množico. Neskončna je tista množica, ki ima enako veliko podmnožico, če enako velikost definiramo prek »držanja za roke«, kot je ona sama. Naravna, soda in liha števila so tako neskončne množice.

    Kako prešteti točke na črti?

    Takoj se seveda postavi vprašanje, ali so vse neskončne množice enako velike. Je recimo množica vseh točk na črti enako velika kot množica naravnih števil? Z drugimi besedami: ali lahko točke na črti preštejemo? Eden od pomembnih Cantorjevih dosežkov je dokaz, da točk na črti ni mogoče prešteti. Množica vseh točk na črti je večja kot množica vseh naravnih števil, čeprav sta obe neskončno veliki. Poglejmo si njegov dokaz, ki mu pravijo tudi diagonalni argument.

    Predpostavimo, da štejemo točke na črti, ki je dolga eno enoto. Vsaki točki priredimo število med nič in ena. Ker točke zapolnjujejo vso črto, saj vmes med njimi ne sme biti nobenih lukenj, sicer ne bi imeli črte, ampak zaporedje pik, lahko prav vse točke na črti označimo s števili šele, če uporabimo števila z neskončno decimalnimi mesti, ki jim pravimo realna števila. Vsaki točki na črti, dolgi eno enoto, ustreza realno število med nič in ena.

    Zdaj si zamislimo, da smo vsa realna števila zapisali drugo pod drugim v neskončno dolg seznam, kjer je v vsaki vrstici po eno realno število, vrstice pa so oštevilčene z naravnimi števili. Cantor je pokazal, da lahko za vsak tak seznam števil pokažemo, da na njem manjka vsaj eno realno število. Iz seznama lahko vedno skonstruiramo še eno realno število, ki ga na njem ni. Kako? Preprosto prvemu realnemu številu s seznama vzamemo prvo decimalko in jo spremenimo, drugemu drugo decimalko in jo spet spremenimo. Če tako nadaljujemo do konca seznama, ustvarimo novo realno število, ki ni enako nobenemu od že zapisanih števil.

    Če se vrnemo k naši prispodobi dveh skupin otrok, ki jih primerjamo po velikosti tako, da se primejo za roke in sestavijo pare, smo sedaj dokazali, da se tvorjenje parov med naravnimi števili in točkami na črti oziroma realnimi števili nikoli ne izide. Zmeraj lahko pokažemo, da je ostalo vsaj eno realno število oziroma točka na črti brez para.

    Pokazali smo, da s seznamom, ki ga lahko oštevilčimo z naravnimi števili, nikoli ne moremo zapisati vseh realnih števil, saj vedno lahko konstruiramo še kakšnega, ki ga še ni na seznamu. Realnih števil je torej več kot naravnih, kar pomeni tudi, da točk na črti ni mogoče prešteti. Poleg neskončne množice števil, s katerimi štejemo, obstaja še večja neskončnost, ki ustreza številu točk na črti.

    Neskončnosti je neskončno

    Z diagonalnim argumentom lahko pokažemo tudi, da je množica vseh podmnožic dane množice vedno večja od same množice. Najlaže je to z naravnimi števili. Podmnožice naravnih števil zapišemo kot sezname prižganih in ugasnjenih števil v množici naravnih števil. Liha števila so tako zapisana kot {1,0,1,0,1,0 …}, praštevila kot {1,1,1,0,1,0,1 …}. Zdaj vse te zapise uredimo v dolg seznam in spet lahko z enakim argumentom kot prej pokažemo, da lahko zmeraj skonstruiramo še kakšno podmnožico naravnih števil, ki je še ni na seznamu, preprosto tako, da od vsake podmnožice vzamemo eno mesto in mu spremenimo vrednost. Množica vseh podmnožic neskončne množice je večja kot sama množica. Neskončnih množic je torej neskončno veliko.

    A manjša težava je že z najmanjšimi neskončnimi množicami. Vemo, da so naravna števila najmanjša že neskončna množica. Odprto vprašanje pa je, katera je druga večja neskončna množica. Je to množica realnih števil oziroma točk na črti? Ali je vmes še kaka druga neskončnost, ki je večja od naravnih števil in manjša od realnih? Domneval je, da takšne množice ni, a tega ni znal dokazati. Čez mnogo let so matematiki to vprašanje sicer rešili, a ne tako, da bi našli odgovor, ampak so pokazali, da to vprašanje sploh nima odgovora.

    Veliko knjig o Cantorjevem razreševanju problemov z neskončnostjo omenja tudi njegovo bolezen, zaradi katere je zadnja leta svojega življenja preživel v psihiatrični bolnišnici. Danes bi rekli, da je imel bipolarno motnjo oziroma manično depresijo, a v tistem času so večino takšnih psihiatričnih bolnikov preprosto razglasili za nore. Mnogi pisci so namigovali, da je Cantorja prav ukvarjanje z neskončnostjo pognalo čez prag norosti, kar se sicer zanimivo sliši, a zelo verjetno njegova bolezen in raziskovalno delo nista vzročno povezana.